🧮 Mathematik Klasse 4 · Komplexe Muster und besondere Zahlenfolgen

Komplexe Muster und besondere Zahlenfolgen

Wenn es kniffliger wird

Nicht alle Zahlenfolgen haben eine einfache Regel wie immer +5. Manchmal ändern sich die Unterschiede zwischen den Zahlen, oder es werden mehrere Rechenarten gemischt.

Sich ändernde Unterschiede

Manchmal werden die Sprünge zwischen den Zahlen immer größer oder kleiner.

Beispiel: Wachsende Sprünge

1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

Schreibe die Unterschiede auf:

• 3 - 1 = 2
• 6 - 3 = 3
• 10 - 6 = 4
• 15 - 10 = 5
• 21 - 15 = 6

Die Unterschiede werden immer um 1 größer! Also: +2, +3, +4, +5, +6, +7, ...

Die nächsten Zahlen wären: 21 + 7 = 28, dann 28 + 8 = 36, ...

Diese Zahlen heißen übrigens Dreieckszahlen - weil man sie als Dreiecke aus Punkten darstellen kann.

Beispiel: Sprünge verdoppeln sich

17, 19, 23, 29, 37, ...

Die Unterschiede:

• 19 - 17 = 2
• 23 - 19 = 4
• 29 - 23 = 6
• 37 - 29 = 8

Die Unterschiede werden immer um 2 größer! Also: +2, +4, +6, +8, +10, ...

Die nächsten Zahlen: 37 + 10 = 47, dann 47 + 12 = 59, ...

Mehrere Rechenarten gemischt

Bei manchen Zahlenfolgen wechseln sich verschiedene Rechenarten ab.

Beispiel: Mal und Plus abwechselnd

2, 4, 6, 12, 14, 28, 30, ...

Finde heraus, wie du von einer Zahl zur nächsten kommst:

• 2 ·2 → 4
• 4 +2 → 6
• 6 ·2 → 12
• 12 +2 → 14
• 14 ·2 → 28
• 28 +2 → 30

Die Regel lautet: ·2, +2, ·2, +2, ...

Die nächsten Zahlen: 30 ·2 = 60, dann 60 + 2 = 62, ...

Beispiel: Drei Operationen im Wechsel

25, 50, 54, 49, 98, 102, 97, ...

Die Schritte:

• 25 ·2 → 50
• 50 +4 → 54
• 54 -5 → 49
• 49 ·2 → 98
• 98 +4 → 102
• 102 -5 → 97

Die Regel lautet: ·2, +4, -5 und dann wieder von vorne!

Die nächsten Zahlen: 97 ·2 = 194, dann 194 + 4 = 198, dann 198 - 5 = 193, ...

Die Fibonacci-Folge

Die berühmteste Zahlenfolge der Welt kommt aus der Natur!

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Erkennst du die Regel? Jede Zahl ist die Summe der beiden vorherigen Zahlen:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 2 + 3 = 5
• 3 + 5 = 8
• 5 + 8 = 13
• 8 + 13 = 21
• 13 + 21 = 34

Diese Folge heißt Fibonacci-Folge, benannt nach dem italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci (1170-1240).

Fibonacci in der Natur:
Die Kerne einer Sonnenblume sind in Spiralen angeordnet. Wenn du die Spiralen zählst, bekommst du Fibonacci-Zahlen! Auch bei Tannenzapfen, Ananas und Gänseblümchen findest du diese Muster.

Quadratzahlen

Wenn du eine Zahl mit sich selbst multiplizierst, erhältst du eine Quadratzahl.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...

Das sind die Ergebnisse von:

• 1 × 1 = 1
• 2 × 2 = 4
• 3 × 3 = 9
• 4 × 4 = 16
• 5 × 5 = 25
• 6 × 6 = 36
• 7 × 7 = 49
• 8 × 8 = 64
• 9 × 9 = 81
• 10 × 10 = 100

Die nächsten Quadratzahlen: 11 × 11 = 121, 12 × 12 = 144, ...

Warum heißen sie Quadratzahlen?
Weil man sie als Quadrate darstellen kann! Ein 3×3-Quadrat hat 9 Felder.

Primzahlen

Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

• 2 ist teilbar durch 1 und 2 → Primzahl ✓
• 3 ist teilbar durch 1 und 3 → Primzahl ✓
• 4 ist teilbar durch 1, 2 und 4 → keine Primzahl ✗
• 5 ist teilbar durch 1 und 5 → Primzahl ✓

Die 1 gilt übrigens nicht als Primzahl!

Zusammenfassung

Übe selbst!

1. Setze die Folge fort: 1, 4, 9, 16, _
   

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   25 ✓

   Das sind die Quadratzahlen: 1², 2², 3², 4², 5² = 25
   

2. Setze die Fibonacci-Folge fort: 5, 8, 13, 21, _
   

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   34 ✓

   Die Regel: Addiere die zwei vorherigen Zahlen.

   13 + 21 = 34
   

3. Welche Zahl fehlt? 3, 6, 5, 10, 9, 18, _
   

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   17 ✓

   Die Regel wechselt: ·2, -1, ·2, -1, ·2, -1, ...

   • 3 ·2 = 6
   • 6 -1 = 5
   • 5 ·2 = 10
   • 10 -1 = 9
   • 9 ·2 = 18
   • 18 -1 = 17
     

4. Setze fort: 2, 5, 10, 17, 26, _
   

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   37 ✓

   Die Unterschiede werden immer um 2 größer:

   • +3, +5, +7, +9, +11, ...
   • 26 + 11 = 37